1林成森数值分析总结的ppt

发表时间:2018/7/12 5:16:04 文章来源:广德教育网 手机版

定义:设有n对数据(xj,yj)(j=1,2,…n),从这些数据中找一个m次近似
m 多项式 p ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? am x a 这里(m
使得

? (a0 , a1 ,?am ) ? ?[ p( x j ) ? y j ]2 为最小值
j ?1

n

则称此式为最小二乘拟合多项式,或变量x,y之间的经验公式。

算法:

S 0  S1 S 2 ?  S m S1 S 2  S 3 ?  S m ?1 S 2  S 3  S 4 ?  S m ? 2 ??? S m  S m ?1 S m ? 2 ?S m ? m  

a0   a1   a2  = ? am  

T0   T1  T2   ? Tm  

对ak求偏导数(k=0,1…m)

n m ?? ? 2? (? ai xij ? y j ) x k ? 0 j ?ak j ?1 m ?0 m i n i?k k 化简得 ? ai ? x j ?? y j x j i ?0 j ?1 j ?1 n



?x
j ?1

n

k j

?Sk     y j x k ?Tk ? j
j ?1

?a S
i ?0 i

m

k ?i

? Tk    ? 0,1?m) (k
写成矩阵形式

第五章曲线拟合例题:最小二乘拟合多项式

P 对于非多项式情况,如指数函数: ( x) ? Ae
ln p( x) ? ln A ? Mx ? B ? Mx
例:求一形如 P( x) ? Ae
Xi Pi
Mx

Mx

B=lnA y(x)=lnp(x)

y ( x) ? B ? Mx

的经验公式,使它和给出的数据拟合。
2 11 2 2.40 3 17 3 2.83 4 27 4 3.30

1 7 1 1.95

解:

Xi yi=lnPi

S 0  S1 S1 S 2

B = T0 M  T1 

S0 ? 4 S1 ? 10 S2 ? 30 T1 ? 10.48  T2 ? 28.44
B ? 1.5 M ? 0.45

4B ? 10M ? 10.48 10B ? 30M ? 28.44

P( x) ? 4.48e0.45x

用最小二乘法解下列超定方程组的近似解

2 x1 ? x2 ? 1 8 x1 ? 4 x2 ? 0 2 x1 ? x2 ? 1 7 x1 ? x2 ? 8 4 x1   3 ?

解: A=

2   ?1 8   4 2   1 7    ?1 4   0

A A?
T

2   2   4 8   7   ? 1   1      4    1 0 ?

2   ?1 8   4 25 = 137   2   1 25    19 7    ?1 4   0

AT b ?

1 2   2   4 0 = 7 2 8   7   ? 1   1      1 4    1 0 ? ?8 8 3

137x1 ? 25x2 ? 72 25x1 ? 19x2 ? ?8

x1 ? 0.19272 x2 ? ?1.464

最佳平方逼近
设f ( x ),? j ( x ) ? C [a , b], j ? 0,1, ? , n, 且 ? j ( x ) 为权,确定函数

?

?

n j ?0

是区间 a , b]上的一个线性无关函数 [ 系,W ( x )

? ( x) ?

?a ?
j ?0 j

n

j

( x)

的系数a 0 , a1 , ? , a n,使

?

b

a

[ f ( x ) ? ? ( x )]2 W ( x )dx ? min

这样得到的函数 ( x )称为f ( x )在[a , b]上 ? 关于W ( x )的最佳平方逼近。

实现

b ? { ? [ f ( x ) ? ? ( x )]2 W ( x )d x} ? 0,k ? 0,1, ? , n ?a k a

得 ?(? 0 , ? 0 )a 0 ? (? 0 , ?1 )a1 ? ? ? (? 0 , ? n )a n ? (? 0 , f ) ? ?(?1 , ? 0 )a 0 ? (?1 , ?1 )a1 ? ? ? (?1 , ? n )a n ? (?1 , f ) ? ? ? ? ? ?(? n , ? 0 )a 0 ? (? n , ?1 )a1 ? ? ? (? n , ? n )a n ? (? n , f ) ? 显然,该方程组有唯一 解,称之为法方程组。 。

例子
求f ( x ) ? x

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